Junktorenlogik
1. Grundbegriffe der Modelltheorie
Die Modelltheorie arbeitet mit Wahrheitstafeln.
Die Wahrheitstafel für den ‘und’-Junktor sieht so aus:
| A | ∧ | B | Ergebnis |
|---|---|---|---|
| w | ∧ | w | w |
| w | ∧ | f | f |
| f | ∧ | w | f |
| f | ∧ | f | f |
Oben stehen die beiden Aussagen A und B. Darunter werden die möglichen Wahrheitswerte (wahr oder falsch) und all ihre Kombinationen eingetragen. Rechts neben dem Strich stehen die resultierenden Wahrheitswerte der Gesamtaussage.
Jede mit Wahrheitswerten belegte Zeile unterhalb des horizontalen Striches heißt Wahrheitwert-Belegung oder Mögliche Welt oder Interpretation.
Jede Interpretation die wahr ist heißt Modell.
Die Summe der Modelle bilden ihren Logischen Ort oder den Spielraum.
Eine Formel, deren Wahrheitstafel mindestens ein Modell enthält ist erfüllbar.
Sind alle Interpretationen einer Formel wahr, so beschreibt sie eine Tautologie, sie ist dann allgemein gültig.
Wenn es keine Modell für ein Formel gibt, so beschreibt sie ein Kontradiktion.
2. Formalisierung normalsprachlicher Aussagen
Um eine normale Aussage zu formalisieren, ist es wichtig, die logische Struktur zu erkennen. Das entscheidende ist der Sinn einer Aussage, nicht das Wort.
Eine Aussage muß zuerst in elementare oder in komplexe (logische) Aussagen gespalten werden, die dann mit Junktoren verbunden werden. Dabei werden elementare Aussagen mit kleinen lateinischen Buchstaben wiedergegeben, komplexe mit großen.
3. Wichtige Junktoren
Insgesamt gibt es 16 Junktoren. Es gibt verschiedene Ansichten darüber, welche wichtig sind. Eine Auswahl:
| ¬ | Der Negator | ‘nicht’ |
| ∧ | Der Adjunktor | ‘und’ |
| ⋁ | Der Disjunktor | ‘oder’ |
| ⇒ | Der Subjunktor | ‘wenn, dann’ |
| ⇔ | Die Äquivalenz | ‘genau dann, wenn’ |
| | | Der Sheffer-Strich | ‘nicht beide wahr’ |
4. Klammern
Die Klammern fassen eine Junktion vor anderen zusammen.
Es ist nicht nötig, ∧- oder ⋁-Junktionen mit Klammern zusammen zu fassen, da diese Junktoren stärker binden, als die anderen. Gleiches gilt für den Negator der sich immer direkt auf genau eine Aussage bezieht.
Beispiel: A ⋁ B ⇒ A
Aber: A ⋁ ( B ⇒ A )